Hinterlegte Regeln

Bei Herleitungsaufgaben versucht das System, den Lösungsweg nachzuvollziehen. Dabei werden derzeit drei Aspekte berücksichtigt: Äquivalenzumformungen, Auswertungen und Wertebereiche von Funktionen.

Äquivalenzumformungen

Das Ziel einer Äquivalenzumformung besteht darin, die Lösungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung unverändert zu lassen. Wir haben

\[ l_0(x) = r_0(x) \]

und

\[ l_1(x) = r_1(x) \],

wobei \( x \) einen Vektor mit allen beteiligten Variablen bezeichnet. Die beiden Gleichungen sind identisch, falls

\[ l_0(x)=l_1(x) \) und \( r_0(x)=r_1(x) \9 <p>oder</p> \[ l_0(x)=r_1(x) \) und \( r_0(x)=l_1(x) \].

Gilt

\[ l_1(x)-r_1(x) = \alpha \left(l_0(x)-r_0(x)\right) \]

mit \( \alpha \in \mathbb{R} \), dann wurde die erste Gleichung mit einem Faktor multipliziert.

Bei einer Implikation kann die Lösungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung vergrößert werden. Daher muss anschließend eine Probe durchgeführt werden:

\[ l_1(x)-r_1(x) = \alpha(x) \left(l_0(x)-r_0(x)\right) \]

Auswertungen

Bei einer Auswertungsaufgabe beginnen wir mit einem Ausdruck, der für sich noch nicht elementar ausgewertet werden kann. Der Term kann etwa Integrale, Summen oder Grenzwerte enthalten. Das Ziel besteht daher darin, den Term solange umzuformen, bis dieser ausgewertet werden kann. Hier ein Beispiel:

\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2n-1} & = & \lim_{n \to \infty} \frac{n(1+2/n)}{n(2-1/n)} \\ & = & \lim_{n \to \infty} \frac{1+2/n}{2-1/n} \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Bei Grenzwerten sind im System die folgenden Regeln hinterlegt:

• \( \displaystyle \lim_{n\to \infty} a x^{\alpha} = \left\{ \begin{array}{rl} 0 &, \alpha < 0 \\ a &, \alpha = 0 \\ \infty &, \alpha > 0, a > 0 \\ -\infty &, \alpha > 0, a < 0 \end{array} \right. \)
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \), falls \( f(x_0) \) existiert.
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim_{x \to x_0} \left( f(x)\right) \cdot \lim_{x \to x_0} \left(g(x) \right) \), falls die beiden Grenzwerte existieren und nicht die Form \( 0 \cdot \infty \) auftritt.
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{ f'(x)}{g'(x)} \), falls der Grenzwert die Form \( 0/0 \) oder \( \infty / \infty \) hat.

Bestimmung des Wertebereichs einer Funktion

Zur Bestimmung des Wertebereichs einer Funktion

\[ f: \left\{ \begin{array}{rcl} D &\to& \mathbb{R} \\ x& \mapsto & f(x) \end{array} \right. \]

muss untersucht werden, für welche \( y \in \mathbb{R} \) die Gleichung

\[ y = f(x) \]

eine Lösung besitzt. Wir sind allerdings nicht an der Lösung selbst interessiert, sondern nur an der Lösbarkeit der Gleichung! Diese Fragestellung kann etwa auf die folgenden Fälle führen, die vom System erkannt werden:

• Für alle \( x \in \mathbb{R} : g(y) = x^2 \;\Leftrightarrow\; g(y) \ge 0 \)
  
  Beispiel: \( \quad 2y+1 = x^2 \;\Leftrightarrow\; 2y+1 \ge 0 \)
  
  
• Für alle \( x \in \mathbb{R} : g(y) = \alpha \sin(\omega x + \varphi) \;\Leftrightarrow\; |g(y)| \le |\alpha| \)
  
  Beispiel: \( \quad 2y+1 = -2 \sin(3x-1) \,\Leftrightarrow\, |2y+1| \le 2 \)
  
  
• Für alle \( x \in \mathbb{R} : g(y) = \alpha \cos(\omega x + \varphi) \;\Leftrightarrow\; |g(y)| \le |\alpha| \)
  
  Beispiel: \( \quad 2y+1 = -2 \cos(3x-1) \;\Leftrightarrow\; |2y+1| \le 2 \)

Die Frage nach der Lösbarkeit einer Gleichung führt in diesen Fällen auf Ungleichungen, die die Menge aller möglichen \( y \) Werte bestimmen.